初中数学-二次根式知识点总结-

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初中数学二次根式知识点总览：初中数学二次根式的定义，性质，运算（混合运算），二次根式的比较技巧，应用，初中数学二次根式常见考点和经典例题。
    【初中数学二次根式概念】
    本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等。
    【初中数学二次根式定义】
    1.二次根式的定义：一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
    2.二次根式的性质：
    ①.任何一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.如正数a的算术平方根是x,则a的另一个平方根为﹣x；
    ②.零的平方根是零；
    ③.负数没有平方根；
    ④.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式；
    ⑤.无理数可用有理数形式表示。
    3.二次根式的运算
    二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减。
    1）二次根式的加减运算：
    先把式子中各项二次根式化成最简二次根式,再参照多项式的加减运算,去括号与合并同类二次根式.
    2）二次根式的乘法：
    （1）法则：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）
    （2）类型：
    （i）单项二次根式乘以单项二次根式；
    （ii）单项二次根式乘以多项二次根式；
    （iii）多项二次根式乘以多项二次根式
    在进行乘法运算时,有时可以应用乘法公式,使计算简便.
    3）二次根式的除法：
    （1）法则：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）
    （2）类型：
    （i）单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算）
    （ii）多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式）
    （iii）除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算,或与分式的运算类比思考,约去分子,分母中的公因式）.
    4）二次根式的混合运算：
    先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
    注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数。
    （5）有理化因式：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式。
    一个含有二次根式的代数式的有理化因式不唯一。如√a与√a（或者√a与-√a），√a-√b与√a+√b（或者√a-√b与-√a-√b）互为有理化因式。
    6、二次根式的比较（重点）：
    比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法，“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法。
    1）移动因式法：就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。
    2）运用平方法：两边同时平方,转化为比较幂的大小。
    3）分母有理化法：此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
    4）分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
    5）求倒数法：先求两数的倒数，而后再进行比较。
    6）运用媒介法：此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。
    初中数学二次根式的应用主要体现在两个方面：1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题;2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。
    初中数学二次根式常见考法：
    (1)设计一些规律探索问题提高学生的想象力和创造力；(2)联系生活实际设计一些方案探究题。
    初中数学二次根式误区提醒：
    (1)不能通过观察，归纳、猜想寻找出共同的规律，并运用这种规律解决问题;
    (2)不会应用数学的知识解决实际生活中的问题。
    【典型例题】小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁你能帮他解决吗?

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